Metody probabilistyczno-statystyczne oceny ryzyka

Metody probabilistczno-statystyczne stosowane do oceny ryzyka w inwestowaniu związane są z rachunkiem prawdopodobieństwa, ustalaniem oczekiwanych wartości i z metodami statystycznymi. Zastosowanie tych metod szacowania i pomiaru ryzyka jest znacznie trudniejsze niż zastosowanie metod przedstawionych wcześniej. Podstawowymi narzędziami tych metod są: rozkład normalny, wskaźniki prawdopodobieństwa występowania określonych zmiennych oraz wariancja i odchylenie standardowe, metoda Monte Carlo i inne.

W rachunku wartości prawdopodobnych wychodzi się z założenia, że istnieje rozkład prawdopodobieństw kształtowania się zmiennych rachunku efektywności inwestycji na określonym oczekiwanym poziomie. Przyjmuje się więc założenie, iż zróżnicowanym wynikom kalkulacji zmiennych można przypisać zróżnicowane prawdopodobieństwa ich występowania w danym horyzoncie czasu. Metody te często są wykorzystywane do badania ryzyka wynikającego z kształtowania się rozkładu wpływów i wydatków związanych z realizacją i eksploatacją inwestycji. Chodzi tu o szacowanie oczekiwanej wartości zdyskontowanej netto (NPV).

Wskutek oddziaływania różnych czynników faktyczne wielkości parametrów mogą wykazywać odchylenia od wcześniej zaprojektowanego ich poziomu.

W metodzie tej istotne jest szacowanie wartości najbardziej prawdopodobnych przy wykorzystaniu popularnego rozkładu normalnego dla wybranych parametrów uznanych za ważne dla oceny efektywności inwestycji. Idea tego sposobu uwzględniania ryzyka opiera się na założeniu , że oszacowana wartość danego parametru będzie w rzeczywistości na poziomie średniej, obliczonej na podstawie analizy wartości ewidencjonowanych w danym okresie czasu.

Jednak stosując takie założenie, prawdopodobieństwo wystąpienia oczekiwanej wartości może być maksymalnie równe 0,5^[1]. Taki stan obrazowany jest przez rozkład normalny który przedstawiony jest na rysunku 1.

Rys.1.Rozkład normalny okresu eksploatacji maszyn.

Źródło: Lucjan Czechowski i nnni. „Projekty inwestycyjne. Metody i procedury oceny”

W rachunku prawdopodobieństwa i statystycznych technik pomiaru ryzyka można wyróżnić następujące etapy postępowania^[2]:

1. wyznaczenie oczekiwanej wartości salda przepływów pieniężnych ESt dla każdego kolejnego roku t

ESt =

1. Po obliczeniu wartości prawdopodobnej wszystkich sald przepływów pieniężnych należy oszacować oczekiwaną wartość zdyskontowaną netto (NPV), oznaczoną symbolem ENPV. ENPV jest to zdyskontowana wartość netto strumienia wartości zdyskontowanych sald.

ENPV =

1. Obliczanie wariancji przepływów pieniężnych VSt dla każdego kolejnego roku t.

VSt =

1. Ustalenie odchylenia standardowego NPV oznaczonego symbolem SNPV

SNPV =

1. Szacowanie współczynnika zmienności wartości zdyskontowanej netto, oznaczonej jako CVNPV

CVNPV =

Pojedynczy projekt będzie opłacalny, jeżeli wartość oczekiwana ENPV będzie większa od zera (ENPV>0).

O skali związanego z nim ryzyka świadczy poziom odchylenia standardowego SNPV oraz współczynnik zmienności.

Można uznać, że odchylenie standardowe oraz współczynnik zmienności są wyznacznikiem quasi- marginesu bezpieczeństwa inwestycji. Ważne jest by inwestowanie zmierzało w kierunku minimalizacji tych współczynników.

W przypadku porównania dwóch projektów mogą wystąpić dwa przypadki:

wyższej wartości oczekiwanej NPV, towarzyszy niższe odchylenie standardowe

(ENPVA>ENPVB oraz SNPV, A > SNPV, B ) wybiera się wówczas projekt o niższym współczynniku zmienności, ponieważ projekt ten gwarantuje wyższą rekompensatę ponoszonego ryzyka. Współczynnik zmienności może także posłużyć do oszacowania premii ryzyka. Im wyższy współczynnik tym wyższe ryzyko realizacji danego projektu.

Przy rozważaniu bardziej skomplikowanych kombinacji czynników znacznie trudniejsze jest przejście od ustalenia prawdopodobieństw wystąpienia określonych wartości konkretnych czynników kształtujących omawiane przepływy do ustalenia prawdopodobieństwa kombinacji tych czynników. Tymi czynnikami mogą być elementy kosztów stałych i zmiennych, wielkość sprzedaży lub należności i zobowiązania. W tak zaistniałych okolicznościach zachodzi potrzeba wyznaczania prawdopodobieństw złożonych za pomocą eksperymentalnej metody Monte Carlo, lub uwzględnić w rachunku znacznie mniej liczebną kombinację z prawdopodobieństwami przyjętymi a priori.

W pierwszym etapie zastosowania metody Monte Carlo należy wykonać następujące czynności dla poszczególnych czynników niepewnych^[3]:

• ustalenie zbioru możliwych ukształtowań danego czynnika przy wykorzystaniu eksperckich oszacowań przyszłych zdarzeń
• dokonanie dużej liczby serii losowań oraz ewidencja wyniku serii, czyli kombinacji czynników.

W przypadku ustalania mało liczebnej kombinacji o prawdopodobieństwie przyjętym a priori, wymagane jest tylko wyznaczenie małej liczby wartości przepływów (dwóch, trzech) lub tylko samych wartości syntetycznych wskaźników, np. NPV. Można. rozważyć prosty przykład obliczania NPV dla trzech oszacowań tzw. scenariuszy. Dla scenariusza optymistycznego można ustalić prawdopodobieństwo 0,25, dla najbardziej prawdopodobnego scenariusza prawdopodobieństwo jego wystąpienia 0,50 a dla pesymistycznego 0,25.

Rachunek probabilistyczny wymaga rozróżnienia wyniku możliwego, wyniku najbardziej prawdopodobnego i wartości oczekiwanej. Wartość oczekiwana jest średnią ważoną wszystkich rozpatrywanych wyników, gdzie wagami są ich prawdopodobieństwa. Nie stanowi obietnicy uzyskania określonej kwoty i może w ogóle nie należeć do zbioru pojedynczych wyników. Przy projektach realizowanych tylko raz ma to szczególne znaczenie: dodatnia średnia modelowa może współistnieć z istotną możliwością straty. Dlatego potrzebny jest opis całego rozkładu, obejmujący zarówno wielkość niekorzystnych odchyleń, jak i częstość ich występowania w przyjętym modelu.

Rozważmy hipotetyczne NPV wynoszące minus 100, 40 i 140 jednostek, z prawdopodobieństwami odpowiednio 0,25, 0,50 i 0,25. Suma prawdopodobieństw jest równa jeden. Wartość oczekiwana wynosi minus 25 plus 20 plus 35, czyli 30. Żaden ze scenariuszy nie daje jednak dokładnie 30. Prawdopodobieństwo ujemnego NPV wynosi w tym modelu 25%. Wariancja to ważona suma kwadratów odchyleń od średniej: 0,25 razy 130 do kwadratu, plus 0,50 razy 10 do kwadratu, plus 0,25 razy 110 do kwadratu. Otrzymujemy 7300, a odchylenie standardowe około 85,44.

Współczynnik zmienności obliczony jako 85,44 podzielone przez 30 wynosi około 2,85. Jest to miara względnego zróżnicowania wyników wobec dodatniej średniej. Przy średniej bliskiej zeru taki iloraz staje się bardzo duży, przy średniej równej zeru jest nieokreślony, a przy średniej ujemnej jego zwykła interpretacja porównawcza traci sens. Z tego względu nie powinien samodzielnie rozstrzygać wyboru. Odchylenie standardowe także obejmuje odchylenia w obu kierunkach. Projekt z dużymi możliwymi korzyściami może mieć wysoką wartość tej miary, choć jego najgorszy wynik pozostaje stosunkowo łagodny.

Wyjaśnienia wymaga również znaczenie średniej w rozkładzie normalnym. Dla takiego ciągłego rozkładu prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie jednej wskazanej wartości, w tym dokładnie średniej, wynosi zero. Wartość 0,5 dotyczy prawdopodobieństwa znalezienia się po każdej stronie średniej. Prawdopodobieństwo wyniku w określonym przedziale odpowiada polu pod krzywą gęstości w granicach tego przedziału. Rozróżnienie to zapobiega utożsamieniu wysokości krzywej z prawdopodobieństwem pojedynczego wyniku. W praktyce pomiar zaokrąglony do pełnych jednostek opisuje pewien przedział wartości, co stanowi jeszcze inne zagadnienie niż prawdopodobieństwo dokładnego punktu matematycznego.

Nie każdy parametr inwestycji ma rozkład normalny. Czas realizacji nie może być ujemny, a dodatkowy koszt naprawy może wynosić zero w większości przypadków i przyjmować dużą wartość po wystąpieniu awarii. Kształt rozkładu powinien odpowiadać charakterowi zmiennej oraz dostępnemu materiałowi, a nie wyłącznie wygodzie obliczeń. Dane z zakończonych projektów mogą pomóc, ale trzeba sprawdzić ich porównywalność: zmiana technologii, zakresu lub sposobu organizacji pracy ogranicza przydatność dawnych obserwacji. Przy oszacowaniach eksperckich należy jawnie wskazać, które elementy wynikają z pomiarów, a które z oceny osób znających przedsięwzięcie.

Wielkości modelu bywają zależne. Wysoki popyt może podnosić zarówno sprzedaż, jak i koszty dodatkowych zmian produkcyjnych. Pogorszenie koniunktury może jednocześnie obniżyć sprzedaż w kilku kolejnych latach. Losowanie takich wartości niezależnie mogłoby tworzyć kombinacje ekonomicznie mało wiarygodne albo zaniżać możliwość skumulowania niekorzystnych zdarzeń. Przy agregowaniu przepływów znaczenie mają więc również współzmienności między okresami. Wartość oczekiwaną NPV można wyznaczać przez dyskontowanie oczekiwanych przepływów przy ustalonej stopie, lecz podobne uproszczenie nie wystarcza do wyznaczenia wariancji bez rozpoznania zależności.

Symulacja Monte Carlo przenosi te założenia do wielokrotnie obliczanego modelu. W każdej próbie losuje się zestaw parametrów zgodnie z przyjętymi rozkładami i zależnościami, oblicza przepływy oraz zapisuje NPV. Z wielu prób powstaje przybliżony rozkład wyników. Można z niego odczytać udział wartości ujemnych, medianę czy granice wybranych przedziałów. Większa liczba prób ogranicza losowy błąd symulacji, ale nie naprawia błędnego modelu. Jeżeli pominięto istotny wydatek albo przyjęto niewłaściwy zakres sprzedaży, bardzo dokładne przeliczenie tych założeń nadal prowadzi do nieadekwatnego obrazu przedsięwzięcia.

Raport z obliczeń powinien pozwalać odtworzyć źródła prawdopodobieństw, zakresy zmiennych oraz przyjęte zależności. W przykładzie trzech scenariuszy warto sprawdzić także inne uzasadnione wagi, ponieważ wynik średni zależy od nich bezpośrednio. Gdy wiedza nie wystarcza do rzetelnego określenia prawdopodobieństw, nadanie bardzo dokładnych liczb może tworzyć pozór pewności. W takiej sytuacji użyteczne jest pokazanie kilku alternatywnych zestawów założeń i opisanie, które wnioski pozostają stabilne. Obliczenia probabilistyczne porządkują wiedzę o niepewności, lecz nie zastępują oceny wiarygodności informacji stanowiących podstawę całego rachunku.

Przy odczytywaniu zapisów źródłowych należy sprawdzić zgodność wzorów z definicjami. Wartość oczekiwana salda ESt jest sumą możliwych sald pomnożonych przez ich prawdopodobieństwa, więc przedstawiony przy niej iloraz zmian NPV i zmiennej nie wyraża tej definicji. Jeśli at oznacza zwykły mnożnik dyskontowy, wariancja zdyskontowanego salda obejmuje jego kwadrat. Dla sald niezależnych sumuje się więc wariancje pomnożone przez kwadraty odpowiednich mnożników, a dopiero potem wyciąga pierwiastek, aby otrzymać odchylenie standardowe NPV. Przy zależności między latami dochodzą składniki kowariancji. Ponadto wyższa wartość oczekiwana połączona z niższym odchyleniem standardowym jest inną relacją niż wyższa wartość oczekiwana połączona z wyższym odchyleniem. Nierówność ze znakiem „większe” w źródłowym porównaniu odchyleń nie odpowiada poprzedzającemu ją opisowi niższego odchylenia. Te rozbieżności trzeba uwzględnić przed praktycznym wykorzystaniem zapisów.